Na ten list Bourbaki nie odpowiedzia�...

Upokorzenie smakuje tak samo w ustach każdego człowieka.

Krzywe eliptyczne Zagadnienia diofantyczne, wi��ce si� z r�wnaniami podobny- mi do tych, kt�re w III wieku naszej ery rozpatrywa� Diofantos, w XX wieku sta�y si� przedmiotem intensywnych bada�, pro- wadzonych m.ln. z u�yciem obiekt�w, kt�re matematyk nazywa krzywymi eliptycznymi. Krzywe eliptyczne wbrew pozorom nie- wiele maj� wsp�lnego z elipsami. Najpierw, w dziewi�tnastym stuleciu u�ywano ich w zwi�zku z tzw. funkcjami eliptycznymi, wymy�lonymi z kolei po to, by u�atwi� obliczanie obwodu elip- sy. Jak w przypadku wielu r�nych innowacji w matematyce, pionierem w tej dziedzinie by� nie kto inny, tylko Gauss. Cho� nazwa zdaje si� sugerowa� co innego, krzywe eliptycz- ne nie s� ani elipsami, ani funkcjami eliptycznymi. M�wi�c najpro�ciej, s� wielomianami trzeciego stopnia zale�nymi od dw�ch zmiennych; fachowcy widz� krzywe eliptyczne w napi- sach postaci y2 = ox3 + �yc2 + c, gdzie liczby a, b i c s� ca�kowi- te lub wymierne. Przyk�ady krzywych eliptycznych pokazuj� rysunki.34 34 Wg artyku�u Kennetha A. Ribeta i Briana Hayesa: Fermat's Last Theorem and Modern Arithmetic, "American Scientist", t. 82, marzec-kwiecie� 1994, s. 144-156. 98 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Gdy spogl�damy na punkty wymierne na krzywej eliptycz- nej - czyli tylko na te pary liczb wymiernych [x. y), spe�niaj�ce powy�sze r�wnanie, w kt�rych zar�wno x, jak i y s� liczbami wymiernymi (�adnych niewymierno�ci w rodzaju n czy pier- wiastka z dw�ch do rozwa�a� nie dopuszczamy) - okazuje si�, AMIR D. ACZEL � 99* �e owe punkty tworz� grup�. Znaczy to, �e maj� one ciekawe- w�asno�ci. Dwa rozwi�zania mo�na w pewnym sensie "doda�",. a wynik te� b�dzie rozwi�zaniem (a wi�c punktem krzywej).- Specjali�ci w dziedzinie teorii liczb fascynuj� si� krzywymi! eliptycznymi, dzi�ki nim bowiem mog� rozwik�a� wiele proble- m�w dotycz�cych r�norodnych r�wna� i ich rozwi�za�. Krzy- we eliptyczne stanowi� w teorii liczb jedno z najpot�niejszychi narz�dzi badawczych.35 Dziwna hipoteza wisi w powietrzu Eksperci w dziedzinie teorii liczb, studiuj�cy krzywe eliptycz- ne, wiedzieli od pewnego czasu, �e niekt�re z nich s� modulo- we. Innymi s�owy, niekt�re krzywe eliptyczne zwi�zane byty/ w szczeg�lny spos�b z formami modu�owymi, z p�aszczyzn� ze- spolon� l niezwykle symetrycznymi funkcjami w przestrze�:! hiperbollcznej. Charakter oraz przyczyny tego zwi�zku pozo- stawa�y jednak niejasne. To wszystko sta�o si� przedmiotem zainteresowania matematyki bardzo zawi�ej nawet dla specjali- st�w. Jej bogat�, niezwykle harmonijn� struktur� wewn�trzn� nie�atwo by�o zrozumie�. Te krzywe eliptyczne, o kt�rych wie- dziano, �e s� modu�owe, mia�y ciekawe w�asno�ci. Dlaczeg�z by wi�c nie postawi� �mia�ej hipotezy, �e wszystkie krzywe? eliptyczne s� modu�owe? Aby zrozumie�, na czym polega Istota modu�owo�ci, poj�cia dotycz�cego nieeuklidesowej geometrii g�rnej p�p�aszczyzny - �wiata, w kt�rym symetrie odbiegaj� bardzo daleko od codziennych przyzwyczaje� naszej wyobra�ni - wygodnie jes t pos�u�y� si� prost� analogi�. Rozpatrzmy dla przyk�adu krzy- w�, kt�ra wcale nie jest eliptyczna; zamiast r�wnania trzeciego stopnia mamy tylko r�wnanie kwadratowe. Nasza krzywa. to zwyk�y okr�g. R�wnanie okr�gu o promieniu a i �rodki-i le��cym w pocz�tku uk�adu wsp�rz�dnych ma posta� 3S Dobrym wprowadzeniem do tematu jest ksi��ka Josepha H. Silvermana i Jol-i- na Tate'a: Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, Nowy Jork 1992. 100 � WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA x1 + y2 = a2. We�my teraz dwie nieskomplikowane funkcje okresowe zmiennej t: x = a cos t oraz y = a sin t. Mo�na je wstawi� do r�wnania okr�gu w miejsce xi y i nic z�ego si� nie stanie. B�dzie tak, jakby�my pomno�yli obie strony znanej to�- samo�ci trygonometrycznej cos2 t + sin2 t = l przez liczb� a2. W tym sensie r�wnanie okr�gu jest modu�owe. Modu�owa krzywa eliptyczna to poj�cie og�lniejsze, otrzyma- ne dzi�ki przeniesieniu powy�szego prostego pomys�u na p�aszczyzn� zespolon�, w �wiat geometrii nieeuklidesowej. Ro- l� sinusa i cosinusa - �wietnie znanych funkcji okresowych, a zarazem symetrii wzgl�dem jednej zmiennej t - przejmuj� tu formy modu�owe (lub automorficzne), kryj�ce w sobie symetrie wzgl�dem znacznie bogatszego zestawu skomplikowanych przekszta�ce�, maj�cych posta� f [z] ->f((az + b)/(cz + d)). Tokio, Japonia, pocz�tek lat pi��dziesi�tych Na pocz�tku lat pi��dziesi�tych naszego wieku Japonia by�a krajem podnosz�cym si� stopniowo z wojennych zniszcze�. Nikt ju� nie g�odowa�, ale niemal wszyscy nadal byli biedni; przeci�tny Japo�czyk ci�ko zmaga� si� z codzienno�ci�, pr�- buj�c prze�y� kolejny dzie�, tydzie� czy miesi�c. Mimo to odbudowywano z gruz�w fabryki, otwierano na powr�t przed- si�biorstwa i ubijano nowe interesy. Z nadziej� patrzono w przysz�o��. W tym czasie �ycie uniwersyteckie w Japonii te� by�o nie�a- twe. Studenci zaciekle wsp�zawodniczyli ze sob�: dobre stop- nie oznacza�y lepsz� prac� po zrobieniu dyplomu. Ta regu�a dotyczy�a zw�aszcza doktorant�w specjalizuj�cych si� w czystej matematyce, albowiem etat�w na uniwersytetach, mimo ni- skiej p�acy, brakowa�o dla wszystkich ch�tnych. Jednym z ta- kich doktorant�w by� Yutaka Taniyama. Urodzi� si� 12 listopa- da 1927 roku Jako najm�odsze, �sme z kolei dziecko w rodzinie prowincjonalnego lekarza w mie�cie Kisai, po�o�onym oko�o 50 kilometr�w od Tokio. W m�odo�ci zacz�� studiowa� matematy- k�, a �ci�lej m�wi�c, geometri� zespolon� rozmaito�ci abelo- AMIR D